Introducción

En la actividad de los amateurs hay una tendencia a omitir el estudio teórico, aplicando solo conocimientos prácticos derivados de la "experimentación". Sin embargo hay una serie de conceptos teóricos que deben manejarse y ese es el objetivo que aquí se persigue: presentar los conocimientos teóricos mínimos que se requieren para trabajar con "Criterio".

Considero conveniente que el interesado en la C.E.A. conozca estos conceptos. Para ello se presenta información sobre la teoría aplicada a los métodos usados en el cálculo de los motores cohete.
Hay varios parámetros que se utilizan para describir la performance de un motor cohete y los mas importantes son:
        Empuje
        Impulso total
        Tiempo de combustión
        Impulso específico
        Velocidad característica

En caso de estar interesado en un estudio teórico mas profundo hay buenos libros de textos, aunque en general están en idioma ingles.


Somera descripción del motor cohete "químico"

La función de un motor cohete "químico" es utilizar la energía de carácter termoquímico de su propulsante para producir la propulsión de acuerdo al Principio de Reacción de Newton. El mismo dice que para cada acción se le opone una fuerza de reacción igual y opuesta (de allí se dice "motores a reacción").

Los elementos que constituyen un motor cohete son :
        Un deposito que contiene los elementos del propulsante.
        Una cámara de combustión, donde se produce la reacción termoquímica del propulsante.
        Una tobera por donde escapan los productos de combustión.

                                                   Figura 1 - Esquema de un motor de propulsante sólido

Nota : Al propulsante sólido moldeado con la forma que se desea se lo llama " grano ".


Unidades de fuerza y de presión

Para quien no esta familiarizado con unidades físicas del Sistema Métrico Internacional las unidades de uso para fuerza y presión son:
	Newton:	Es una unidad de fuerza y que es la fuerza necesaria para imprimirle a un kilogramo masa la aceleración de un metro por segundo cada segundo.
	Pascal:	Es una unidad de presión y es la fuerza de un Newton ejercida sobre un metro cuadrado. Se abrevia con "Pa". Por ser de valor absoluto pequeño se utiliza en general los "MPa" : Megapascales o sinoel "KPa" : Kilopascal, 1 MPa = 10,15 Kg/cm² y 1 KPa = 0,01015 Kg/cm².

 
  
. Empuje

La ecuación de partida es:
Ecuación nº 1
donde:
        F: Fuerza o Empuje, Newton
        m: masa, Kg masa
        a: aceleración, m/s²

También se sabe que la velocidad se incrementa durante el tiempo que una fuerza actúa sobre la masa, y su ecuación es:
Ecuación nº 2
donde:
        v: velocidad, m/s
        a: aceleración, m/s²
        t:: tiempo, seg

Combinando las ecuaciones nº 1 y la nº 2 se obtiene la ecuación nº 3 conocida como el teorema del "Momentum":
Ecuación nº 3
donde:
        F: Fuerza o Empuje, Newton
        m: masa, Kg masa
        v: velocidad, m/s
        t: tiempo, seg

Esta es la ecuación fundamental del empuje, pudiéndosela aplicar tanto al vehículo cohete como a los gases eyectados. Aplicando esta ecuación al cohete la fuerza que recibe hace que se mueva su masa "m" con una velocidad "v" y si se aplica a los gases la fuerza que se genera es por la masa de gases "m" que salen con velocidad "v".
Si se integran todas las fuerzas actuantes sobre las superficies internas y externas del motor, el resultado se puede expresar así:
Ecuación nº 4
donde:
        F: Empuje, Newton
        : flujo de masa de propulsante, Kg/s
        V: velocidad de los gases a la salida de la tobera, m/s
        : presión absoluta de los gases a la salida de la tobera, Pa
        : presión ambiente absoluta, Pa
        : área de salida de la tobera, m²

El primer término de la ecuación nº 4 es el aporte debido al "momentum" de los gases y el segundo término es el aporte de la fuerza debido a la presión. El mayor impulso se obtiene cuando la presión absoluta de los gases a la salida de la tobera es igual a la presión ambiente donde se halla el motor.


. Impulso total

El impulso total "I" es la integral del impulso, o fuerza, a lo largo del tiempo de combustión:
Ecuación nº 5
donde:
        I: Impulso, Newton.seg
        t: tiempo variable, seg
        : tiempo de combustión, seg

Una forma sencilla de entender este concepto es verlo en forma gráfica, donde se graficaría la curva de Empuje en función del Tiempo. El área debajo de la curva representa el Impulso total, ver fig. nº 2.

                                                     Fig. nº 2 - Curva de Empuje versus Tiempo

Esta forma de representación permite también calcularlo en forma gráfica o mediante una planilla de cálculo tipo Excel.


. Tiempo de combustión

El tiempo de combustión "t" es el tiempo durante el cual se produce el empuje del motor cohete. Tal como se ve en la figura nº 2 hay una rampa de subida de la curva de empuje y una de decaimiento. Es práctica usual tomar el tiempo de combustión una vez que llego por lo menos al 10 % del empuje final lo mismo para la zona de decaimiento.


. Impulso específico

El concepto de Impulso especifico "Isp" se puede explicar como el tiempo durante el cual una unidad de peso de propulsante genera una unidad de empuje. En términos matemáticos es:
Ecuación nº 6
donde:
        : Impulso específico, seg.
        F: empuje, Newton
        : aceleración de la gravedad 9,80665 m/s²
        : caudal másico de propulsante, Kg/s

El Impulso específico se ha popularizado como el indicador de la eficiencia de los propulsantes, aunque es función también del sistema que comprende la formulación del propulsante, la balística interior y el diseño de la tobera.


. Velocidad característica

La velocidad característica es un parámetro que mide la performance intrínseca del propulsante y define las relaciones en las propiedades de los gases en la cámara de combustión, ecuación nº 7. Es particular de cada propulsante y puede ser considerado como indicativo de la eficiencia de la combustión.
Ecuación nº 7
donde:
        : velocidad característica, m/seg
        : aceleración de la gravedad 9,80665 m/s²
        R: constante universal de los gases
        : temperatura de combustión
        : peso molecular del gas o de la mezcla de gases
        : relación de calores específicos

Otra forma de presentar matemáticamente la velocidad característica es:
Ecuación nº 8
donde:
        : velocidad característica, m/seg
        : presión absoluta de la cámara de combustión, Pa
        : área de la garganta de la tobera, m²
        : flujo de masa de propulsante, Kg/s


Coeficiente de empuje

El coeficiente de empuje mide la eficiencia de la tobera:
Ecuación nº 9
donde:
        :coeficiente de empuje, adimensional
        F : empuje, Newton
        : presión absoluta de la cámara de combustión, Pa
        : área de la garganta de la tobera, m²

Combinando la ecuación nº 8 con la ecuación nº 9 se obtiene la ecuación nº 10 en donde el Empuje se relaciona con la velocidad característica, el coeficiente de empuje y el flujo de gases por la tobera.
Ecuación nº 10
donde:
        F : Empuje, Newton
        : flujo de masa de propulsante, Kg/s
        : velocidad característica, m/seg
        : coeficiente de empuje, adimensional


Ejemplos de aplicación

Ejemplo nº 1.
En un ensayo estático se tomaron valores de Empuje y de presión de cámara de combustión en función del tiempo. Ver tabla nº 1. El peso del propulsante empleado fue de 2237 gramos y el area de la garganta de la tobera era de 0,000159 m2. Determinar :
        a) - Impulso total
        b) - Tiempo de combustión
        c) - Impulso especifico
        d) - Coeficiente de empuje

             Tabla nº 1. Ejemplo de valores de empuje, y presión de cámara de combustión en función del tiempo

Los diagramas de empuje y presión de cámara de combustión en función del tiempo serían los siguientes :

  a) - Para calcular el impulso total se suma el producto de cada valor de intervalo de tiempo por el valor del empuje correspondiente a dicho intervalo (empuje promedio):

con i = 1 hasta n-1, donde n es el numero de elementos de la tabla de empuje versus tiempo, que en nuestro caso es n = 18. Reemplazando valores de la tabla nº 1 obtenemos:

I = 0,5.[ 0+ (1072+0).(0,17-0) + (1152+1072).(0,32-0,17) + (1121+1152).(0,47-0,32) + (1277+1221).(0,61-0,47) + (1321+1277).(0,75-0,61) + (1352+1321).(0,89-0,75) + (1368+1352).(1,03-0,89) + (1369+1368).(1,17-1,03) + (1356+1369).(1,31-1,17) + (1328+1356).(1,44-1,31) + (1287+1328).(1,59-1,44) + (1232+1287). (1,73-1,59) + (1164+1232).(1,88-1,73) + (1085+1164).(2,03-1,88) + (996+1085).(2,18-2,03) + (899+996).(2,35-2,18) + (0+899).(2,40-2,35) ]
                                                   I = 2787,18 Newton.segundo

  b) - El tiempo de combustión se saca del gráfico. En el gráfico se puede apreciar que el tiempo de combustión es de aproximadamente 2,4 segundos.

  c) - El impulso especifico se calcula con la ecuación nº 6 :

Que también se puede escribir de la siguiente manera :
                                                  
donde :
        I: 2787,18 Newton.segundo
        m: 2237 gramos : 2,237 Kg
        : aceleración de la gravedad : 9,80665 m/s²

Reemplazando valores obtengo :
                                                   

  d) - El coeficiente de empuje se calcula con la ecuación nº 9 :

donde :
        F : 1369 Newton
        : 5,99 MPa
        : 0,000159 m²

Tomo los valores de empuje y presión de combustión máximos para calcular el máximo valor de coeficiente empuje. Reemplazo los mismos y obtengo :

                                                   ( Coeficiente de empuje para la máxima presión de combustion)
Notas :
        "" es el factor de conversión de MPa a Pa.
        Si se desea el coeficiente de empuje promedio hay que calcular todos los valores para todas las mediciones
          de la tabla nº 1 y luego promediarlas.

Ejemplo nº 2.
¿ Cual es la cantidad de propulsante requerida para que un motor tenga un impulso total de 2000 N durante 4 segundos utilizando un propulsante con un Isp de 140 seg ?.

Solución: de la ecuación nº 6 :

donde:
        : Impulso específico :140 seg
        F: Empuje : 2000 Newton
        : Aceleración de la gravedad : 9,80665 m/s²
        : flujo de masa de propulsante, Kg/s

Despejamos y nos queda :

Reemplazando valores obtengo :

El caudal másico de propulsante está definido como :

donde :
        : flujo de masa de propulsante, Kg/s
        m : masa de propulsante, Kg
        : tiempo de combustión, seg
Finalmente despejamos "m" y obtenemos :

Reemplazo valores y obtengo: